錐体の表面積は、柱体とは異なり「尖った頂点」を持つため、底面が1つしかありません。したがって基本構成は「底面積 ＋ 側面積」となります。
底面が1辺 $6\text{ cm}$ の正方形で、側面の二等辺三角形の高さが $5\text{ cm}$ である「正四角錐」の場合、計算は素直です。底面積は $6 \times 6 = 36\text{ cm}^2$。側面は合同な二等辺三角形が4枚なので、$(\frac{1}{2} \times 6 \times 5) \times 4 = 60\text{ cm}^2$。これらを足して $96\text{ cm}^2$ と導けます。
問題は、中学生がつまずきやすい「円錐の側面積」です。円錐を展開すると、側面はおうぎ形になります。このおうぎ形を処理するためには、母線の長さ $R$ と底面の半径 $r$ の関係を理解しなければなりません。
展開図のおうぎ形の弧の長さは、底面の円周（$2\pi r$）と完全に一致します。この関係式から、おうぎ形の「中心角 $x^\circ$ の求め方」が導き出されます。
$$2\pi R \times \frac{x}{360} = 2\pi r \quad \Longrightarrow \quad x = 360 \times \frac{r}{R}$$
例えば、母線の長さ $R = 8\text{ cm}$、底面の半径 $r = 3\text{ cm}$ の円錐を想定してみます。
中心角は $360^\circ \times \frac{3}{8} = 135^\circ$ と求まります。
この中心角を使って側面積を求めると、以下のようになります。
$$\text{側面積} = \pi \times 8^2 \times \frac{135}{360} = 64\pi \times \frac{3}{8} = 24\pi\text{ cm}^2$$
ここで重要な数学的ショートカットが存在します。側面積の式を展開して整理すると、約分によって「$\pi \times \text{母線の長さ} \times \text{底面の半径}$」という極めてシンプルな関係式が成立します。
$$\text{側面積} = \pi R r = \pi \times 8 \times 3 = 24\pi\text{ cm}^2$$
この裏ワザ公式を知っておくと、中心角を経由する計算の手間と計算ミスのリスクを大幅に削減できます。底面積は $\pi \times 3^2 = 9\pi\text{ cm}^2$ であるため、円錐全体の表面積は $9\pi + 24\pi = 33\pi\text{ cm}^2$ と瞬時に求まります。
